부력, 압력측정

부유 나무토막을 생각하자. 이 토막은 정지 상태에 있어서, 모든 방향에서 작용하는 힘의 합이 0이다. 여기에 작용하는 힘은 중력과 전체 표면에 대한 전체 압력인데, 이 두 힘은 서로 같고 방향이 반대이어야 한다. 부유 또는 침적 물체의 전제 표면에 관하여 적분한 압력의 수직 성분을 부력(buoyant force)이라 한다.

압력은 유체와 접촉하는 모든 면의 안쪽 법선 방향으로 작용하며 반면에 수직성분은 이 압력에 압력이 작용하는 방향과 수직 방향이 이루는 각 세타의 코사인 값을 곱해서 얻어지기 때문에 위식에 코사인 세타가 포함된다. 나무토막에 대하여, 코사인 세타는 측면에서 0이고, 바닥에서 -1, 위에서 +1이다.

부력은 대체한 두 유체의 무게와 똑같은데, 이것이 Archimedes 원리(Archimedes' principle)이다. 공기 무게는 대개 물 무게에 비하여 무시할 수 있다. (물의 밀도가 공기의 밀도에 비해 약 800배가량 크다.) 따라서 부유 물체에 관한 Archimedes 원리를 다시 말하면, '부유 물체가 대체하는 유체 부피의 무게는 그 자체의 무게와 같다.' 만약 물체가 유체 중에 완전히 잠겨 있으며 우변의 식 우변의 항은 하나뿐이다. 즉, 완전히 잠긴 물체에 대한 부력은 대체된 유체의 무게와 같다고 말할 수 있다.

앞에서는 축이 수직인 물체를 고려하였다. 이 경우에는 수직 측면에 작용하는 압력이 부력에 기여하지 않으므로 간단하다. 그러나 어떤 종류의 물체라도 마찬가지인데, 어떤 형태라도 토막으로 만들어져 있다고 볼 수 있기 때문이다.

이러한 토막이 크면 이들의 부피를 더한 것이 물체의 부피와 다소 차이가 날 것이다. 그러나 토막의 x와 y 치수가 감소하여 0에 접근하면 물체의 치수와 같아지게 될 것이다. 각 토막은 아무리 작아지더라도 위에서 설명한 것처럼 Archimedes 원리를 적용할 수 있으므로, 결과적으로 어떤 모양의 물체에도 이 원리를 적용할 수 있게 된다. 문어처럼 생긴 물체에 작용하는 압력을 적분하기는 아주 어렵겠지만, 그 부피를 알면 이것이 대체한 유체의 부피를 알 수 있어서, Archimedes 원리를 이용하여 그 부력을 쉽게 계산할 수 있다.

가솔린은 나무토막을 위에서 내려 누를 뿐 어느 점에서도 밀어 올리지는 않는데도 불구하고, 대체한 가솔린의 부피가 부력 계산에 들어가기 때문이다. 그러나 표면에 대한 압력 적분을 살펴보면, 이 토막의 상부에서 하부까지의 압력차에 대하여 가솔린은 여기서 보인 것과 같이 관여함을 알 수 있다.

부력에 관한 설명을 마치면서 다시 언급하면, 기본 조작은 물체의 전체 표면에 대한 압력의 수직 성분의 적분이다. 이 적분의 편리한 결과는 Archimedes 원리로써, 부력은 물체가 대체한 유체의 무게와 같다.

압력측정에서는 대개 어떤 면적에 압력을 작용시켰을 때, 이에 반대로 작용하는 중력이나 압축 용수철의 힘을 이용하여 측정한다. 중력법에서는 마노미터(manometer)라는 기구를 사용하는데, 그 조작법을 다음에서 설명하였다.

가스탱크에 연결한 마노미터는 U자형 유리관으로, 물이 들어 있는데, 한끝은 대기 중에 열려 있다. 마노미터의 높이를 나타낼 경우, 탱크 안의 계기압력을 구하려면 D에서의 압력을 알고자 하는 것이므로 이미 알고 있는 압력에서부터 시작하여 단계적으로 처리하면 간단하게 원하는 압력을 구할 수 있다. 이 경우에는, A가 대기에 열려 있으므로, 이 지점의 계기압력이 0 임을 알 수 있다. 물은 실질적으로 밀도가 일정한 유체이므로, 식을 이용하여 지점 B에서의 압력을 구할 수 있다.

1. 마노미터에서 기체가 들어 있는 부분이 답에 기여하는 정도(0.03%)는 마노미터 문제에서는 아주 작으므로 일반적으로 무시할 수 있다.

2. 대기에 열려 있는 마노미터는 계기압력 측정기구이므로 계기압력을 사용하여 계산하도록 한다.

3. 이러한 기구에서는 보통 높이차를 읽는데 실제 읽음은 2.5ft이다. 이처럼 마노미터 읽음(manometer reading) 높이로 압력을 측정하여 보고하는 것이 편리할 때가 많다. 예를 들어, 미국 냉난방공업에서는 덕트 안의 압력을 대개 'inches of water(in H2O)'로 나타내고 진공 장치 제작자는 진공도를 'inches of mercury(in Hg)'로 나타낸다.

4. 계산에서는 어디에서나 마노미터의 단면적이 나타나지 않는다. 따라서 이러한 관은 어떤 크기이든 편리하게 만들면 되고 지름이 일정한 관을 사용할 필요는 없다. 유체밀도와 높이차는 측정하여야 하는데 유체밀도는 편람에서 찾을 수도 있고 높이차는 자를 사용하여 직접 읽을 수 있다. 따라서 마노미터에서는 표준법으로 검정하거나 시험할 필요가 없고 단지 설치하여 읽음을 취하기만 하면 된다.

5. 이처럼 간단한 문제일 때도 곤란한 일이 많이 생길 수 있다. 실제로 현장 기술자는 여기서 나타낸 것보다 간략한 방법으로 계산한다. 그러나 두 종류 유체가 들어 있는 마노미터(two-fluid manometer)처럼 복잡한 장치에서는 이 간략법은 혼동을 일으킬 수 있고, 항상 신뢰할 만한 것은 위에 나타낸 방법이다.

두 종류의 유체가 들어 있는 마노미터를 사용하면 액체 사이의 작은 높이차를 읽을 필요가 없어진다. 두 탱크 사이의 압력차를 구하기 위하여 같은 마노키터를 연결하여 마노미터 액의 높이차를 얻었을 경우에는 압력차를 구하면 된다.