유체정역학 기본식, 밀도가 일정한 유체, 이상기체

치약, 페인트, 젤리 등과 같은 유체에는 식이 맞지 않는다. 왜냐하면, 이러한 유체는 아무런 움직임이 없어도 작지만, 일정한 전단응력을 가지기 때문이다. 따라서 이 식을 적용할 수가 없다. 이에 대응하는 식을 얻으려면 정육면체의 수직면에 대한 전단응력을 포함하여 힘의 수지를 다시 취하여야 한다.

기압식에 따르면, 수직 방향 거리에 따라 압력이 달라진다. 여기서 z축의 수직 상승 방향은 중력과는 반대 방향이다. [식에 표시된 마이너스는 중력이 z축의 감소방향이기 때문이다.] 수직 방향이 아닌 다른 방향, 가령 a방향에서의 거리에 따른 압력 변화를 나타내면 다음과 같다. dP/da = dz/da x dP/dz = -pg x dz/da 방향 a가 z에 직각인 경우, 즉 x-y 평면에 평행인 방향을 생각해 보자. 이 경우, 세타=90도이므로 cos세타=0이다. 따라서 이 방향에서는 거리에 따라 압력이 달라지지 않고 일정하다. 식으로부터 정체유체의 경우, 중력 방향에 수직인 면은 압력이 일정한 면임을 알 수 있다. 이러한 정체유체의 정압면(constant-pressure surface) 중에서 계기압력이 0인 면은 대기와 접하는 면이다. 이 면은 정압면이므로 어디에서나 중력에 수직이어야 한다. 지구 규모에서 보면 이 때문에 해수의 자유 표면이 실질적으로 구형이 된다. (지구는 실제로는 구형이 아니고 양극에서 약간 평평하다.) 전형적인 공학적 조작에서는 대기에 노출된 자유 액면이 실질적으로 수평면이라 할 수 있다.

중력이 지배적인 유체흐름을 다룰 때에는, 밀도는 y/g로 대치하면 계산이 간단해진다. 토목공학 수력학에서는 실제로 이러한 방법을 사용한다. 그러나 다른 항에 비하여 중력 항이 작을 경우의 유체흐름을 주로 다룰 때에는 y/g 대신에 밀도를 직접 사용하는 것이 편리하다. 화학공학에서 주로 다루어지는 문제에서는 중력항이 일반적으로 작으므로, 비중력을 사용하는 일이 별로 없다.

어떤 물질도 밀도가 일정하지는 않으며, 압력에 따라서 증가한다. 그러나 임계 온도보다 상당히 낮은 온도에 있는 액체에서는 압력이 밀도에 미치는 영향이 아주 적다. 가령, 100F에서 온도를 일정하게 유지하고 물의 압력을 1에서 1000psia로 변환시키면, 밀도가 0.3% 정도 증가한다. 대부분의 공학 계산에서는 이러한 미소한 밀도의 변화를 무시할 수 있으므로, 식에서 이것을 적분 기호 밖으로 내보내면, 압력은 다음과 같다. P2-P2=-pg(z2-z1)

기체의 밀도는 압력에 따라 상당히 변하므로, 식에서 밀도 항을 적분 기호 밖으로 내보낼 때는 주의하여야 한다. 저압에서는 대부분의 기체가 다음 이상기체법칙에 따른다고 볼 수 있다. p=PM/RT 여기서 T는 절대온도 R 또는 캘빈온도 K이다. R은 기체상수로 다양한 단위로 얻어진다. M은 분자량으로 g/mol 또는 lbm/lbmol 단위를 가진다. [식의 이상기체식에서는 밀도의 단위로 lbm/ft3을 사용하난 화학분야에서 흔히 밀도의 단위를 lbmol/ft3 또는 mol/m3으로 사용하기도 한다. 따라서 이 경우에는 이상기체식이 p=P/RT으로 표시된다.] 만약 온도가 일정할 경우, 변수를 분리하여 적분할 수 있다.

이 표에서 보면, 고도 1000ft까지는 밀도가 일정하다고 가정하여도 별 오차가 없지만, 10,000ft일 때는 오차가 9%, 100,000ft일 때는 엉뚱한 값(절대압력이 마이너스값?)이 된다. 따라서 보통 크기의 공업용 장치(대개 높이가 1000ft 이하이다)에서는 기체의 밀도가 일정하다고 보고, 높이에 따른 압력 변화를 계산하여도 별 차이가 없을 것이다. 그러나 항공학이나 기상학 문제에서는 고도가 보통 10,000~100,000ft 정도이므로, 이러한 가정을 할 수 없다.

예제 문제에서는 기온이 일정하다고 가정하였다. 그러나 사람들이 여름에 피서하기 위하여 산에 올라가는 이유는 대기가 등온이 아니기 때문이다. 고도에 따라 기온이 내려가는 이유를 이해하기 윟아ㅕ, 낮은 곳에서 높은 곳으로 이동하는 기단(가령 바람에 의하여 산을 타고 올라가는 공기)을 생각해 보기로 한다. 기단이 위로 올라가면 기압이 낮아지므로 팽창하게 되는데, 이때 주변공기에 대한 팽창일 때문에 냉각된다. 공기는 열전도도가 나쁘기 때문에 이 과정에서 실질적으로 단열, 가역팽창을 하게 된다. 단열, 가역팽창이라면, 온도-압력-고도의 관계는 등엔트로피 관계가 된다. 등엔트로피 대기에 대하여서는 다음과 같은 고도-온도, 고도-압력 관계를 적용할 수 있다.

공기가 완전한 열전도체이어서 온도차가 즉시 사라지는 경우에는 등옥 대기가 된다. 한편, 공기가 완전 절연체이어서 열을 전혀 전달하지 않는다면 식의 등엔트로피 대기가 된다. 실험에 의하면 대기의 거동은 이 두 가지 경우의 중간에 해당한다. 열은 지상으로부터 공기층을 통한 단순 전도(상당히 느리다)에 의하여 전도될 뿐 아니라, 찬 공기층과 더운 공기층을 섞는 바람이나 응축하는 수증기에 의하여 전달된다. 항공공학자는 계산의 편의상 '표준대기(stnadard atmosphere)'를 정의하는데, 이것은 여러 가지 관찰 결과를 평균한 것과 잘 일치하는 것이다. 이 표준대기는 실제로 등온 대기와 등엔트로피 대기의 중간에 해당하는 것이다. 표준대기는 평균적이므로, 대부분의 기상 현상은 이와 다르다. 표준대기 온도로부터 '표준' 기압-고도 곡선을 계산할 수 있다.